CONTOH SOAL DAN JAWABAN TENTANG LINGKARAN

Soal 1

Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukanlah keliling lingkaran dan luas lingkaran.

Penyelesaian

d = 35 cm => r = ½ x d = 17,5 cm

Untuk mencari keliling lingkaran dapat digunakan rumus berikut.

K = πd = (22/7) x 35 cm = 110 cm

Sedangkan untuk mencari luas lingkaran dapat menggunakan rumus berikut.

L = π (½ x d)²

L = ¼ π x d²

L = ¼ x 22/7 x (35 cm )²

L = 962,5 cm²

Soal 2

Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah diameter ban sepeda tersebut dan keliling ban sepeda tersebut.

Penyelesaian:

r = ½ d => d = 2r = 2 x 50 cm = 100 cm

K = πd = 3,14 x 100 cm = 314 cm

Soal 3

Sebuah lapangan berbentuk lingkaran memiliki 88 m, tentukanlah luas lapangan tersebut.

Penyelesaian:

K = 2πr

88 m = 2 x 22/7 x r

88 m = 44r/7

2 m= r/7

r = 14 m

L = πr²

L = (22/7) x 14²

L = 22 x 2 x 14 m²

L = 616 m²

Soal 4

Perhatikan gambar di bawah ini!

Sebuah persegi terletak tepat di dalam sebuah lingkaran. Jika persegi tersebut memiliki panjang sisi 14 cm, tentukanlah jari-jari lingkaran, keliling lingkaran dan luas yang diarsir.

Penyelesaian:

Untuk mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu cari diameter lingkaran (AC) dengan menggunakan rumus phytagoras yaitu:

AC = √(AB² + BC²)

 AC = √(14² + 14²)

AC = √(196+196)

AC = √(2 x 196)

AC = 14√2 cm

jari-jari lingkaran sama dengan setengah diameter lingkaran (AC), maka

AO = ½ AC

AO = ½ x 14√2 cm

AO = 7√2 cm

Untuk mencari keliling lingkaran gunakan rumus keliling lingkaran yaitu

K = 2πr

K= 2 x 22/7 x 7√2 cm

K = 44√2

Untuk mencari luas daerah yang di arsir kita tinggal mengurangkan luas lingkaran dengan luas persegi. Jadi terlebih dahulu cari luas lingkaran dan luas persegi.

Luas lingkaran = πr²

Luas lingkaran = (22/7) x (7√2 cm)²

Luas lingkaran = 308 cm²

Soal 5

Sebuah ban mobil memiliki panjang jari-jari 30 cm. Ketika mobil tersebut berjalan, ban mobil tersebut berputar sebanyak 100 kali. Tentukan diameter ban mobil, keliling ban mobil, dan jarak yang ditempuh mobil.

Penyelesaian:

d = 2r = 2 x 30 cm = 60 cm

Jadi diameter ban mobil adala 60 cm

K = πd

K = 3,14 × 60 cm

K = 188,4 cm

Jadi keliling ban mobil adala 188,4 cm

Jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah

Jarak = keliling × banyak putaran

Jarak = 188,4 × 100

Jarak = 18.840

Jadi, jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah 18.840 cm atau 188,4 m

Soal 6

Perhatikan gambar di bawah berikut ini!

 

Sebuah lingkaran tepat berada di dalam persegi. Jika ukuran rusuk persegi tersebut adalah 14 cm, tentukanlah luas persegi, luas lingkaran, dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesian:

Untuk mencari luas persegi kita gunakan rumus luas persegi yaitu:

 L.persegi = s²

L.persegi = (14 cm)²

L.persegi = 196 cm²

Sedangkan untuk mencari luas lingkarani kita gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L.lingkaran = πr²

L.lingkaran = (22/7) x (7 cm)²

L.lingkaran = 154 cm²

Luas daerah yang diarsir merupakan luas daerah persegi yang dikurangi dengan luas lingkaran, yaitu:

L.arsir = L.persegi - L.lingkaran

L.arsir = 196 cm² - 154 cm²

L.arsir = 42 cm²

Soal 7

Perhatikan gambar di bawah berikut ini. Sebuah persegi terletak tepat berada di dalam lingkaran. Jika keliling persegi tersebut adalah 112 cm, tentukanlah luas persegi, luas lingkaran, dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesian:

Untuk mencari luas persegi dapat digunakan rumus hubungan antara luas persegi dengan kelilingnya, yaitu:

L. persegi = K²/16

L. persegi = (112 cm)²/16

L. persegi = 784 cm²

Untuk mencari luas lingkaran terlebih dahulu harus diketahui jari-jari lingkaran tersebut, sedangkan jari-jari lingkaran akan didapat jika sudah ketemu diameter dari lingkaran tersebut. Diameter lingkaran akan di dapat setelah sisi dari persegi tersebut dikatahui kemudian menggunakan rumus phytagoras.

s = K/4

s = 112 cm/4

s = 28 cm

setelah ketemu sisi persegi maka diameter (d) lingkaran yang sama dengan diagonal persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus phytagoras, yaitu:

d = √(s² + s²)

d = √(28² + 28²)

d = √(784 + 784)

d = √(2 x 784)

d = 28√2 cm

r = ½ d

r = ½ x 28√2

r = 14√2 cm

Sekarang kita akan mencari luas lingkaran dengan menggunakan rumus

L. lingkaran = πr²

L. lingkaran = (22/7) x (14√2 cm)²

L. lingkaran = 1.232 cm²

Luas daerah yang diarsir merupakan luas daerah lingkaran yang dikurangi luas daerah persegi, maka:

L.arsir = L. lingkaran – L. persegi

L.arsir = 1.232 cm² - 784 cm²

L.arsir = 448 cm²

Jadi luas daerah yang diarsir adalah 448 cm².

Soal 8

Di pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 m. Di dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran berdiameter 28 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp6.000,00/m², hitunglah seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mencari luas lingkaran yang ditamani rumput dapat dicari dengan cara mengurangi luas lingkaran seluruhnya dengan luas lingkaran yang ada di dalam. Oke sekarang kita cari terlebih dahulu luas lingkaran seluruhnya yang diameternya 56 cm, yaitu:

r = ½ d = ½ x 56 m = 28 m

L total = πr²

L total = (22/7) x (28 m)²

L total = 2.464 m²

Untuk mencari luas lingkaran dalam sama caranya seperti mencari luas lingkaran total, hanya saja diamternya saja yang beda yaitu 28 m.

r = ½ d = ½ x 28 m = 14 m

L total = πr²

L total = (22/7) x (14 m)²

L total = 616 m²

Luas lingkaran yang ditanami rumput dapat dicari dengan cara mengurangi luas lingkaran total dengan luas lingkaran dalam, yaitu:

L.rumput = L.total – L.dalam

L.rumput = 2.464 m² – 616 m²

 L.rumput = 1.848 m²

Terakhir sekarang kita akan tenutkan berapa biaya yang diperlukan untuk menanam rumput jika harga rumput tersebut Rp6.000,00/m².

Biaya = L.rumput x biaya

Biaya = 1.848 m² x Rp6.000,00/m²

Biaya = Rp. 11.088.000,00

Jadi biaya yang diperlukan untuk menanam rumput yang ada di luar kolam sebesar Rp. 11.088.000,00.

Soal 9

Ada sebuah lingkaran berada tepati ditengah-tengah sebuah persegi. apabila panjang persegi tersebut adalah 35cm, coba kalian tentukan luas persegi, keliling lingkaran, serta luas dari lingkaran tersebut!

Pembahasan:

Luas persegi kita cari dengan rumus:

Luas Persegi = s2

Luas Persegi = 352

Luas Persegi = 1225 cm2

Sekarang kita cari luas lingkaran tersebut:

karena posisi lingkaran tepat berada ditengah persegi maka diameternya sama dengan panjang sisi persegi yaitu 35cm. berarti jari-jari dari lingkaran itu adalah 12,5 cm

Luas lingkaran = πr2

Luas lingkaran = 22/7 x 12,52

Luas lingkaran = 491,07 cm2

Setelah itu cari kelilingnya:

Keliling Lingkaran = 2πr

Keliling Lingkaran = 2 x 22/7 x 12,5

Keliling Lingkaran = 78,57 cm

Soal 10

Jika sebuah lingkaran memiliki diamater sepanjang 30 cm, maka berapakah luas dan keliling dari lingkaran tersebut?

Pembahasan:

pertama-tama kita harus mengetahui jari-jari dari lingkaran tersebut.

jika diameter = 30 cm maka jari-jari = 15 cm

baru kita masukkan ke dalam rumus mencari keliling lingkaran:

K = 2πr

K = 2 x 22/7 x 30

K = 188,5 cm

Sekarang kita cari luas lingkaran dengan rumus berikut:

L = πr2

L = 22/7 x 15 x 15

L = 22/7 x 225

L = 707,14 m2

Soal 11

  Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.

Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)

b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x² + y² = r²



sehingga
x² + y² = 5²
x² + y² = 25

Soal 12
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x² + y² = 144

Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.

Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.


Soal 13
  Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!



Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)² + (y − b)² = r²



dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)² + (y − 6)² = 3²
(x − 5)² + (y − 6)² = 9


Soal 14
  Persamaan suatu lingkaran adalah x² + y² − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

Pembahasan
Suatu lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0



akan memiliki titik pusat (−¹/₂A, −¹/₂ B) dan jari-jari r = √[¹/₄ A² + ¹/₄ B² −C] .

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−¹/₂[−8], −¹/₂ [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[¹/₄ (−8)² + ¹/₄ (4)² −(−5)] = √25 = 5

Soal 15

Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)

Pembahasan
x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4
B = −6
C = −12

Pusat: 

Jari-jari: 

Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
Soal 16
Lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y² − ¹/₂ ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu: 

Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah 

Jari-jarinya: 

Diameternya adalah 2 × 4 = 8

Soal 17
Diberikan persamaan lingkaran:

x² + y² −4x + 2y − 4 = 0.

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1

x² + y² −4x + 2y − 4
= (2)² + (1)² −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran. Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

Soal 18
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!

Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)² + (x − b)² = r², kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:

Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2 Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2 Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1

(x − 2)² + (x + 1)²
= (5 − 2)² + (−1 + 1)²
= 9

Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.
Soal 19
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!

Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)² + (x − b)² = r²
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)

Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:

Hasilnya

Terbalik angkanya hasilnya sama juga

Soal 20
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:

x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20


Pembahasan
x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Pusatnya adalah

P (−¹/₂[−2], −¹/₂ [4])

= (1, −2)

Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20